Today I came across an interesting problem from the 2024 Australian Mathematical Olympiad. The problem is as follows: Determine all triples $(k,m,n)$ of positive integers satisfying $$ k!+m!=k! \times n! $$ (If $n$ is a positive integer, then $n!=1 \times 2 \times 3 \times \dots \ti...
Recently, two teenage girls — Calcea Johnson and Ne'Kiya Jackson — gave a presentation to the American Mathematical Society where they demonstrated a new proof of the Pythagorean Theorem. This shocks me greatly. You know, I'm the same old boy as t...
If $x>0, y>0$ and $x+y=1$, prove that $x^xy^y+x^yy^x \le 1.$ Proof: According to the conditions, $x>0, y>0$ and $x+y=1$, we have $$ 1 = x+y = x^{x+y}+y^{x+y} = x^xx^y+y^xy^y $$ Therefore, $$ \begin{align*} 1 - (x^xy^y+x^yy^x) &= x^xx^y+y^xy^y - x^xy^y - x^yy^x \\ &= x^x(x^y-y^y)-y^x(x^y-y^y)...
题目如下: 2024 广东高考数学模拟卷第 19 题 解 (1): 根据弗罗贝尼乌斯范数的定义, $$ \begin{align*} \Vert B \Vert_F &= \sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+ \dots + (\sqrt{n})^2} \\ &= \sqrt{1+2+3+\dots+n} \\ &= \sqrt{\frac{n(n+1)}{2}} \end{ali...
今天是 3.14,正好是圆周率 $\pi$ 的前 3 位,因此数学界将这一天定为 $\bold{\pi}$ day。 $\pi$ 可能是最著名的无理数了,人类对 $\pi$ 的研究从未停止。目前人类借助计算机已经计算到 $\pi$ 小数点后 31.4 万亿位了!这个记录是由来自 Google 的日本女程序员岩尾遥创造的。据说该计算程序在 25 台虚拟机上运行了 121 天,涉及 170 TB 的数据,最终获得精确到 $\pi$ 小数点后 31.4 万亿位的成绩。 计算 $\pi$ 的精度也是衡量计算机算力的一种方法,该方法始于冯·诺依曼。直到今天依然有很多数学家在孜孜不倦地研究 $...
2024 九省联考数学模拟卷第 19 题 解 (1): 暴力求解 根据定义,$a^{p-1,\otimes}$ 为 $a^{p-1}$ 除以 $p$ 的余数。带入数值可得 $$ a^{p-1, \otimes} = a^{p-1} \mod p = 2^{10} \mod 11 = 1024 \mod 11 = 1 $$ 同余性质 因为 $a \in X=\{1,2,\dots,p-...
[!NOTE] 本文翻译自 OpenAI Sora 技术报告 我们探索在视频数据上开展生成模型的大规模训练。具体来说,我们针对不同时长、分辨率和宽高比的视频及图像,联合训练了基于文本条件的扩散模型。我们采用了对视频和图像潜在编码的时空片段进行操作的 Transformer 架构。我们最大的模型 Sora 能够生成一分钟的高保真视频。结果表明,扩展视频生成模型是构建物理世界通用模拟器的一条有前途的途径。 <video src="htt...
没有比集合更简单的概念了,但 1901 年伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 发现了一个悖论集合,令数学界大吃一惊。由于集合的元素也可是集合,于是罗素构造了这样一个集合 $$ R = \{x:x \notin x\} $$ 形式上,没有理由不允许这样的集合定义。然而你很快就会发现这个集合的矛盾之处:$R \in R$ 当且仅当 $R \notin R$。想一下,如果 $R$ 不是它自身的元素,那么根据上面集合的定义,它就一定是它自身的元素。相反,如果 $R$ 包含它自身,那么他就不满足自身的定义。一个更为形象的例子是:“理发师为所有不为自己理发的人理发,那么他给不给自己理发...
前言 2024 春晚刘谦的第二个魔术很多人跟着一起做了,都觉得非常神奇。我也跟着操作了一遍,结果一眼就让我看出了背后的数学原理。下面给大家介绍一下。 魔术介绍 先来介绍一下这个魔术是怎么做的。 首先准备 4 张不同的扑克牌,将这 4 张牌从中间一分为二,将两部分叠在一起。然后根据你的名字有几个字,就几张牌一张一张地依此从顶部放到底部。 接着拿起顶部的 3 张牌,插到牌堆的中间(随机位置,下同)。然后将最上面的一张牌拿出放好——这是最后要拼接牌的其中一部分。 放好后,按南北方,认为自己是南方人的把最上面的 1 张插入到中间,认为自己是北方人的把最上面的 2 张插入到中间,...
关于陶哲轩用 GPT-4 进行数学研究的话题始于陶本人在微软 Unlocked 上发表的 Embracing Change and Resetting Expectations。文中提到: …… I could feed GPT-4 the first few PDF pages of a recent math preprint and get it to generate a half-doze...