解 (1)：

1. 暴力求解

​根据定义， 为 除以 的余数。带入数值可得

2. 同余性质

​因为 且 为素数，所以 都无法被 整除，他们的余数一定属于集合 。由于数列 的项数与集合 元素个数相同，且题目给出 两两不同，说明 与 ​ 可以建立一一映射关系，且 。

根据和的余数与余数的和同余，可得

左边是等比数列，根据等比数列求和公式可得 ；右边是等差数列，根据等差数列求和公式得 。很明显 可以被 整除，所以 也应该被 整除。由此可得 ，所以 ​。这正是费马小定理。

3. 费马小定理

由费马小定理可知，如果 为素数，则对于任意 ，所以

解 (2)：

设 ，则根据离散对数的定义，可得 。根据 的定义，可得进一步改写为商乘除数加余数的形式为：

上面两式相乘得

根据 的定义， 是 除以 的余数，所以 ，则

由此我们可得

两边同时模 取离散对数。

很明显，等式左边除以 的余数为 除以 的余数，即 。根据离散对数的定义其离散对数为 ；

等式右边根据指数的余数与余数的指数同余，可得 。根据费马小定理 ，所以 除以 的余数为 。根据积的余数与余数的积同余，因此 除以 的余数就是 除以 的余数，根据离散对数的定义其离散对数就是

因此 ，即 。

解 (3)：

对 取以 为底的离散对数得：。根据第二问的结论可得

设 ，设 ​，则

根据指数的余数与余数的指数同余，所以 。

因为 ，根据定义，，所以上面公式可以进一步简化为 。

将 与 相乘得：

上面式子两边同时模 ，很明显左边式子根据定义可以写成 ；右边式子前面两项可以被 整除，余数就是 ，由此可得

因此

这意味着 可以被 整除，所以根据 的定义，。将其代入回最初的等式，得

所以 。